குருகுலம் மூலம் அந்தக் காலத்தில் கல்வி கற்றவர்களுக்கு, மொழிப்பாடமே முதன்மையான பாடமாகக் கற்றுக் கொடுக்கப்பட்டது. கணிதப்பாடம் அடுத்த நிலையில் கற்றுக் கொடுக்கப்பட்டது. கணிதவியலின் அடிப்படையான அறிவின்றி இன்றைக்கு யாரும் வாழ்ந்திட முடியாது. ஆனால் பழங்காலத்திலேயே நம் முன்னோர்கள் கணிதவியலில் சிறந்து விளங்கி இருக்கிறார்கள்.
‘இலக்கணம்’ என்றாலே அங்கு கணக்கு வந்து விடும். தமிழ் இலக்கியத்திற்கான, தமிழ் மொழிக்கான இலக்கணம் வகுத்த தொல்காப்பியர், எழுத்தை ஒலிக்க வேண்டிய அளவை ‘மாத்திரை’ என்ற ஒலி அளவில் குறிக்கின்றார்.
‘ஒரு சொடக்கு’ப்போடும் நேரம், அல்லது இயல்பாக ஒரு மனிதன் தன் கண்ணை மூடித் திறப்பதற்கு எடுத்துக் கொள்ளும் கால அளவே ஒரு மாத்திரைக்கான கால அளவு’ என்று இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பே தொல்காப்பியர், தொல்காப்பியம் என்ற தனது இலக்கண நூலில் ‘மாத்திரை’ என்ற ஒலி அளவுக்கு இலக்கணம் வகுத்துள்ளார்.
மாத்திரையில் இருந்து (நேரத்தைக் கணக்கிடும் அலகு), காலத்தைக் குறிக்கும் மிகப் பெரிய அளவான ‘பெரும் பொழுது’ வரை (காலத்தைக் கணக்கிடும் மிகப் பெரிய அலகு) தொல்காப்பியத்தின் இலக்கண நூலில் சுட்டிக் காட்டுகிறார். இந்த அளவுகள் யாவும் கணிதவியல் சார்ந்ததே!
கணிதத்துறையின் நுட்பமான அறிவு இன்றி ஒரு இசைக் கலைஞன் புதிய, புதிய ராகங்களை உருவாக்கி இருக்க முடியாது. சிற்பக் கலைக்கும், ஓவியக் கலைக்கும் நடனக்கலைக்கும் ஊடாக ஊடுருவியாக கணிதவியல் சார்ந்த இலக்கணங்கள் உள்ளன.
கிராமத்து விளையாட்டுகள், சிலம்பம் முதலிய கலைகள் என்று அனைத்து விதமான கலைகளுக்கும் கணிதம் என்றும் அடிப்படையான தேவையாக உள்ளது.
‘கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல்’ என்ற கணிதத்தின் நான்கு விதமான அடிப்படை விஷயங்களையும் பாமர மக்களும் கால, காலமாய்த் தெரிந்து தான் வைத்திருக்கிறார்கள். பேச்சுவாக்கில் ‘கூட்டிக் கழிச்சிப் பார்த்தா ஒண்ணும் மிஞ்சாது’ என்று சொல்கிறார்கள். ‘வல்லான் வகுத்ததே வாய்க்கால்’ என்று பேச்சுவாக்கில் பேசுகிறார்கள். ‘வெள்ளம் பெருகிட்டு’ என்கிறார்கள். இப்பேச்சுகளில், கூட்டல், கழித்தல், வகுத்தல், பெருக்கல் என்ற அடிப்படைக் கூறுகளின் பெயர்கள் பதிவாகியுள்ளன.
‘சத்தக் கூலி சௌகரியமா இந்த மரக்கம்பை வாங்கினேன்’ என்று பெரியவர் ஒருவர் சொன்னார். அந்த வாக்கியத்தில் உள்ள ‘சத்தம்’ என்ற வார்த்தைக்கு எனக்குப் பொருள் புரியவில்லை! பெரியவரிடமே, தாத்தா ‘சத்தம்’ என்றால் என்ன?’ என்று கேட்டேன். ‘வண்டிச் சத்தம்’ என்றால் ‘வண்டி வாடகை’ என்று அர்த்தம். ‘சத்தக் கூலி’ என்றால், ‘வண்டி வாடகைக் கூலி’ என்று பொருள் என்று விளக்கம் சொன்னார்.
‘சத்தம்’ என்ற வார்த்தைக்கு நடைமுறையில் இரைச்சல், ஒலி எழுப்புதல், பேசுதல் என்ற ரீதியிலேயே அர்த்தம் தெரிந்து வைத்திருந்த எனக்குச் ‘சத்தம்’ என்ற வார்த்தைக்கு வணிக ரீதியாக இப்படியும் ஒரு பொருள் இருப்பதைப் பிறகு தான் தெரிந்து கொண்டேன்.
வட்டார வழக்கில் அவன் கூப்பிடும் தூரத்தில் தான் இருக்கிறான் என்று சொல்கிறார்கள். சில நேரம் அவன் காத வழி (தூரம்) போயிட்டான் என்று பேசுகிறார்கள். ‘கூப்பிடும் தூரம்’ என்ற பதத்திற்கு, நான் ஒருவனை நாம் அதிக பட்சமாக ஓங்கிக் குரல் எழுப்பிக் கூப்பிட, அவனும் (காது செவிடாகாதவனாக இருந்து). நாம் கூப்பிட்ட குரலுக்கு என்ன? என்று மறு குரல் கொடுக்கும் தூரத்தில் இருந்தால் அவனுக்கும்,எனக்கும் இடைப்பட்ட உத்தேசமான தூரத்தைத்தான் ‘கூப்பிடு’ தூரம் என்று புரிந்து வைத்திருந்தேன்.
கிராமத்துப் பெரியவர் ஒருவரிடம் பேசிக் கொண்டிருந்த போது மேலே கண்ட எனது விளக்கத்தைச் சொன்னதைக் கேட்டு நல்ல கற்பனை வளம் இருக்கிறது என்று என்னைப் பார்த்து சிரித்து விட்டு நம் முன்னோர்கள் தனக்கான நீட்டல் அளவை, தன் உடல் உறுப்புகளில் இருந்தே அமைத்துக் கொண்டார்கள். ஒரு மனிதனின் சராசரி விரல் அளவை, ஒரு விரக்கடை என்று சொல்வார்கள். 12 விரல்கடைகள் சேர்ந்து ஒரு சாண் ஆகும். ரெண்டு சான் சேர்ந்து 1 அடி ஆகும். இந்த மூன்று அளவுகளை அளக்கவும் எங்கேயும் சென்று அளவு கோல் தேட வேண்டிய அவசியம் இல்லை. இந்த அளவுகளை அளக்க நம் கையில் உள்ள விரல்களே போதும். ரெண்டு முடியும் சேர்ந்தது ஒரு சிறு கோல், ரெண்டு சிறு கோல் சேர்த்தது ஒரு பெருங் கோல், 500 பெருங்கோல் கொண்டது ‘ஒரு கூப்பிடு தூரம்’. எனவே கூப்பிடு தூரம் என்பது நீங்கள் நினைப்பது போல் ஒலி சார்ந்த அளவு கோல் அல்ல! நீட்டல் அளவு பற்றிய அந்தக் காலத்து ‘வாய்ப்பாட்டின்’ அடிப்படையில் அமைந்தது. இப்படிப்பட்ட நான்கு கூப்பிடு தூரம் சேர்ந்தது தான் ‘ஒரு காத தூரம்’ ஆகும் என்று விளக்கினார்.
வாயால் பாடி (இசையுடன்) மனதில் நினைவு வைத்துக் கொள்வதற்கு ஏற்ப அமைக்கப்பட்ட தால் தான் ‘வாய்ப்பாடு’ என்பதற்கு அப்பெயர் வந்திருக்கிறது என்றும் விளக்கம் சொன்ன பெரியவர் தனது ஏட்டுப் பள்ளிக் கூடத்து அனுபவங்கள் சிலவற்றையும் என்னிடம் கூறினார். அவைகள் யாவும் கணிதத்துறை சம்பந்தப்பட்டது என்பதால் அவற்றையும் இக்கட்டுரையில் பதிவு செய்கிறேன்.
அந்தக் காலத்தில் அதிகாலையில் படுக்கறையை (படுக்கையை) விட்டு எந்திரிச்சதும் பல்தேய்ச்சி நீசத்தண்ணியில் (நீராகாரம்) உப்புப் போட்டு வயிறு நிறைய குடிச்சிட்டு நேரே, ஏட்டுப் பள்ளிக் கூடத்திற்குப் போயிரனும். அப்படி ஏட்டுப் பள்ளிக் கூடத்திற்கு முதன் முதலில் போகிற மாணவனுக்கு ‘ஏரான்’ என்று பெயர். அதன் பிறகு வரிசையாக வருகிற மாணவன் ஏரான் ஒண்ணு, ஏரான் ரெண்டு என்று தனத்குத் தானே எண்ணிட்டுத் தன் வருகையை பதிவு செய்து கொள்ளனும்.
அண்ணாவி வந்ததும், எந்திரிச்சு கடவுளை வாழ்த்தி ஒரு பாட்டுப் பாடுவோம். காலையில் எட்டு மணி வரை அண்ணாவி ஏவின அவர் வீட்டு வேலைகளைச் செய்வோம். அதன் பிறகு தான் வீட்டுக்குப்போயி குளிச்சி சாப்பிடப் போங்க’ என்று சொல்வார் அண்ணாவி.
பெரியவரிடம் பேசிக் கொண்டிருந்தால் நேரம் போவதே, தெரியாது. அவர் நம்மை அந்தக் காலத்தில் மக்கள் வாழ்ந்த வாழ்வியல் அனுபவத்திற்கே கொண்டு சென்று விடுவார். ஒரு முறை பேசிக் கொண்டிருக்கும் போது உடலுக்கு ஒன்பது வால் என்று சொல்கிறார்களே அது எதெல்லாம் என்று தெரியுமா? என்று கேட்டார்.
அரைகுறையாக நான் தெரிஞ்சி வச்சிருந்தாலும் பெரியவரிடம் தெரியாது என்று ஒரே போடாகப் போட்டு விடுவேன். அப்படிப் போட்டால் தான் அவரிடம் இருந்த நிறைய தரவுகளைப் பெற முடியும்.
பெரியவர், கண்ணில் இரண்டு (கண்ணின் நுண்ணிய துளை) காதில் இரண்டு, மூக்கில் இரண்டு, வாயில் ஒன்று, குருத்தில் ஒன்று ஆக மொத்தம் எட்டு அத்தோடு குய்யத்தில் என்று இருக்கிறது. அதையும் சேர்த்து உடலுக்கு ஒன்பது வால் என்று விளக்கம் சொன்னார்.
அந்தக் காலத்துல ‘நாழிகை’ங்கிற நேரத்தை எப்படிக் கணக்கிட்டாங்க தெரியுமான்னு கேட்டார் தாத்தா. வழக்கம் போல் நான் தெரியாதே! சொல்லுங்க என்றேன்.
நாழிகையை அந்தக் காலத்துல ரெண்டு விதமா, கணிச்சாங்க. வெயில் அடிக்கும் பகல் நேரத்துல நாழிகையைக் கணிக்க ஒரு நீளமான குச்சியை எடுத்துக் கிட்டு அதை 16 விரல் என்று தனியே நாலு விரல் கடை நீளத்தில் இன்னொரு குறியிட்டு 20 விரல் கடை அளவில், அந்த நீண்ட குச்சியை முடித்து எடுத்து அதை சூரிய வெளிச்சம் படும் இடத்தில் 16 விரல்கடை அளவுள்ள குச்சி மட்டும் வெளியே தெரியும் படி கட்டு வைப்பாங்க. உடனே குச்சியின் நிழல் தெரியும் அளவைக் குறிக்கத் தரையில் ஒரு கோடு போட்டுக்கிடுவாங்க. பிறகு வேலை நேரத்தைக் கணக்கிட, வேலை முடிந்த பிறகு உள்ள நிழலின் அளவையும், தரையில் ஒரு குறியிட்டுக் குறிச்சிக்கிடுவாங்க. இப்ப நிழலின் நீளத்தையும் குச்சியின் நீளத்தையும் வைத்து நாழிகை என்ற நேர அளவைக் கணக்கிடுவாங்க என்று விளக்கம் சொன்ன பெரியவர் அதற்கு ஆதாரமாக,
‘காட்டுத் துரும் பெடுத்துக்
கண்டம் பதினாறாக்கி,
நீட்டிக் கிடந்து போக,
நின்றது நாழிகை’ என்ற பாட்டால் ஆன சூத்திரத்தையும் இராகத்துடன் பாடிக்காட்டினார்.
கிராமாந்தாரங்களில் இன்றும் வீடு வீடாகச் சென்று தயிர் ஊற்றுகிற பெண்கள், ஒரு பழஞ்சிரட்டையால் (தேங்காய்ச் சிரட்டை கொட்டாங்கச்சி) தான் தயிரை அளந்து ஊற்றுகிறார்கள். எத்தனை நாள் தயிர் ஊற்றினேன் என்பதைக் கணக்கிட வீட்டின் தலையினால் அருகே உள்ள சுவரில் செம்மண் கரைத்த கரைசலில் குறியிட்டுச் சொல்கிறார்கள். இந்தக் கணக்கு முறை திருவள்ளுவர் காலத்திலேயே இருந்திருக்கிறது. இச் செய்தியை திருவள்ளுவர், நாள் ஏற்றித் தேய்ந்து விரல் (குறள் 1261) என்று குறிப்பிடுகின்றார்.
இலக்கியத்தோடு கணக்கியலையும் சேர்த்தே நம் முன்னோர்கள் வளர்த்திருக்கிறார்கள். அதிலும் வாழ்வியலுக்கு மிகவும் தேவையான கணிதத்திற்கு முதலிடம் கொடுத்திருக்கிறார்கள். எனவே தான் ஒளவையார், ‘எண்ணும் எழுத்தும் கண்ணெனத் தகும்’ என்று பாடியுள்ளார். எழுத்திற்கு முன்னால் எண்ணை வைத்துப் பாடி இருக்கிறார்.
இன்னொரு கணிதப் பாடலில் அதே ஒளவையார், ‘எட்டே கால் லட்சணமே! எமனேனும் பரியே!’ என்று பாடியுள்ளார். ‘எட்டு’ என்ற எண்ணின் தமிழ் எண் உரு அ என்ற தமிழ் எழுத்தாகும். ‘கால்’ என்ற எண்ணின் தமிழ் எண் உரு 'வ‘ என்ற தமிழ் எழுத்தாகும். எனவே எட்டே கால் லட்ணமே என்பதற்கு நாம் அவலட்சணமே!’ என்று பொருள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். இப்பாடலில் தமிழ் எண் உருக்கள் எழுத்தாக, இரட்டுற மொழிதலுக்குப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன.
கணிதவியலோடு தொடர்புடைய பல இலக்கியச் சான்றுகளைப் பட்டியலிட்டுக் கொண்டே சொல்லலாம். படித்தவர்களின் இலக்கியத்தில் கணிதவியல் சார்ந்த விஷயங்கள் பதிவு செய்யப்பட்டதைப் போன்றே படிக்காத பாமர மக்கள் பாடும் சில நாட்டார் பாடல்களிலும், அவர்கள் வாய்மொழியாகச் சொல்லும் சில கதைகளிலும் கணிதவியல் சார்ந்த விஷயங்கள் பதிவாகி உள்ளன.
‘பூனைக்கு ஆறு கால், புல்லினத்திற்கு எட்டு கால்’ என்று சிலேடையாகப் பாடப்படுகிறது. ‘பூனைக்கு நான்கு கால்கள் தானே! புல்லினத்திற்கு (பறவை இனங்களுக்கு) இரண்டு கால் தானே! என்று நீங்கள் யோசிப்பது எனக்குத் தெரிகிறது.
‘பூனைக்கி’ என்றால் ‘பூவை நக்கி பூவில் உள்ள தேனை எடுக்கிற வண்டிற்கு’ என்று நாம் பொருள் கொள்ள வேண்டும். இப்போது பாட்டின் பொருள் ‘வண்டிக்கு ஆறு கால்கள் என்று பொருந்தி வரும். பறவைக்கு ‘எட்டே கால்’ என்பதை எட்டு பெருக்கல், கால் என்று புரிந்து கொண்டால் விடை இரண்டு என்று சரியாகப் பொருந்தி வரும்.
பாமரமக்களில் கதை சொல்லிகளைப் போலச் சில கணக்குச் சொல்லிகளும் இருக்கிறார்கள். அவர்கள் போடும் கதைக் கணக்குகள் மிகவும் சுவாரஸ்யமாகவும், சுவையாகவும் இருக்கின்றன. அத்தகைய கதைக் கணக்கு ஒன்றை இனி பார்ப்போம்!
ஒரு ஊரில் ஒரு மாந்திரிகன் இருந்தான் அந்த மாந்திரிகன் கோயில், கோயிலாகச் சென்று சாமி கும்பிடுவதை வழக்கமாகக் கொண்டிருந்தான். அவன் ஒரு நாள் ஒரு நந்தவனத்திற்குப் போய் சில பூக்களைப் பறித்துக் கொண்டு வந்தான்.
நந்தவனத்தில் பறித்த பூக்களை எடுத்துக் கொண்டு ஒரு கோயிலுக்குச் சென்றான். அக்கோயிலின் மூலவருக்குச் சில பூக்களைச் சார்த்துவதற்கு முன், அக்கோயிலில் உள்ள குளத்தில், நந்தவனத்தில் பறித்த பூக்களை ஒரு மந்திரத்தைச் சொல்லி முக்கினான். எனவே மாந்திரிகன் பறித்துக் கொண்டு வந்த பூக்கள் ரெட்டித்தது. (இரண்டு மடங்கானது).
மீதிப்பூக்களுடன் இப்போது முதலாவது கோயிலில் சில பூக்களைச் சார்த்தினான். அங்கிருந்த அந்த மாந்திரிகன், இன்னொரு கோயிலுக்குச் சென்றான். தற்போது மீதமாக தான் தன் கையில் இருந்த பூக்களை, ரெண்டாவது கோயிலின் அருகில் உள்ள குளத்தில் ஒரு மந்திரத்தைச் சொல்லி அமிழ்த்தினான். இப்போதும் மாந்திரிகன் கையிலிருந்த பூக்கள் ரெட்டித்தது. அப்பூக்களில் சிலவற்றை ரெண்டாவது கோயிலில் உள்ள சாமிக்குச் சார்த்தி விட்டு, பிறகு மூன்றாவது ஒரு கோயிலுக்குச் சென்றான். அந்த மாந்திரிகன்.
இப்போதும் தன் கையில் இருந்த பூக்களை மூன்றாவதான கோயிலின் அருகில் உள்ள குளத்தில் ஒரு மந்திரத்தைச் சொல்லி முக்கினான். இப்போதும் மாந்திரிகன் கையில் இருந்த பூக்கள் ரெட்டித்தது. ரெட்டித்த பூக்களை எல்லாம் மாந்திரிகன் மூன்றாவதான கோயிலில் சார்த்தி விட்டு வீசிய கையும், வெறும் கையுமாகத் தன் வீட்டைப் பார்த்து நடந்து சென்றான்.
மாந்திரிகன் மூன்று கோயிலுக்கும் சாத்திய பூக்களின் எண்ணிக்கை சமமானது என்பது சிறப்பு. மாந்திரிகன் முதலில் நந்தவனத்தில் பறித்துக் கொண்டு வந்த பூக்கள் எத்தனை. ஒவ்வொரு கோயிலிலும் சார்த்திய பூக்கள் எத்தனை? இதுதான் அந்தக் கதை கணக்கு.
மாந்திரிகன் நந்தவனத்தில் இருந்து பறித்து வந்த பூக்கள் X என்றும் கோயிலில் சார்த்திய பூக்கள் y என்றும் கொண்டு 2(4x-3y)-y=0 என்ற சமன் பாட்டின் அடிப்படையிலும் இக்கணக்கிற்கு விடை காணலாம்.
நந்தவனத்தில் இருந்து மாந்திரிகன் எடுத்துச் சென்ற பூக்கள், 7 கோயிலுக்குச் சார்த்திய பூக்கள் 8 என்பதே இக்கதைக் கணக்கின் கொடையாகும்.
மாந்திரிகன் நந்தவனத்தில் இருந்து 7 பூக்களை எடுத்துக் கொண்டு வருகிறான். அதை குளத்தில் அமிழ்த்த (7x2) 14 என ரெட்டிக்கிறது. 14 பூக்களில் 8 பூக்களை முதலாவது கோயிலில் சார்த்தி விட்டு மீதி பூக்களுடன் ரெண்டாவது கோயிலுக்கு வருகிறான்.
மாந்திரிகன் இப்போது 6 பூக்களை ரெண்டாவது குளத்தில் அமிழ்த்தி அப்பூக்கள் 12 ஆக ரெட்டிக்கின்றன. அதில் 8 பூக்களை ரெண்டாவது கோயிலுக்குச் சார்த்துகிறான். பிறகு 4 பூக்களையும் அமிழ்த்த (4x2)=8 பூக்களாகின்றன. கடைசியாக உள்ள எட்டுப் பூக்களையும் மூன்றாவதாக உள்ள கோயிலில் சார்த்தி விட்டு வீசிய கையும், வெறுங்கையுமாகத் தன் வீட்டைப் பார்த்து நடையைக் கட்டினான் மாந்திரிகன் என்று கதைக் கணக்கையும் போட்டு அதற்கான விடையையும் விவரித்துக் கூறினார் தாத்தா.
இந்தக் கணக்கின் சொல்மொழி அமைப்பில் ஒரு ‘ஒத்திசைவு’ உள்ளதைக் கூர்ந்து கவனித்தால் நாம் உணர முடியும். மனக் கணக்கு என்ற ஒன்று நம்மை விட்டுப் போய் விட்டதால், வாய்ப்பாடு சொல்வது என்ற முறையும் இன்று நம்மை விட்டுப் போய் விட்டதால் ‘தொட்டது தொண்ணூறுக்கும்’ நாம் கணிப்பானை (கால்குலேட்டரை) தான் தேட வேண்டியதுள்ளது. இத்தகைய கதைக் கணக்குகள் ‘பூக்கள்’ ரெட்டிப்பது போன்ற கற்பனை நயங்களையும் மாணவர்களுக்குத் தூண்டுவதாக உள்ளது. இத்தகைய கதைக் கணக்குகளை பிள்ளைகள் ஒரு கதையைக் கேட்கிற சுவாரஸ்யத்துடன் கேட்டு மனதில் பதிய வைத்துக் கொள்வார்கள்.
நாம் இழந்து விட்ட நாட்டார் செல்வங்களுள் இந்தக் கதைக் கணக்குகளும் ஒன்றாகும்
‘இலக்கணம்’ என்றாலே அங்கு கணக்கு வந்து விடும். தமிழ் இலக்கியத்திற்கான, தமிழ் மொழிக்கான இலக்கணம் வகுத்த தொல்காப்பியர், எழுத்தை ஒலிக்க வேண்டிய அளவை ‘மாத்திரை’ என்ற ஒலி அளவில் குறிக்கின்றார்.
‘ஒரு சொடக்கு’ப்போடும் நேரம், அல்லது இயல்பாக ஒரு மனிதன் தன் கண்ணை மூடித் திறப்பதற்கு எடுத்துக் கொள்ளும் கால அளவே ஒரு மாத்திரைக்கான கால அளவு’ என்று இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பே தொல்காப்பியர், தொல்காப்பியம் என்ற தனது இலக்கண நூலில் ‘மாத்திரை’ என்ற ஒலி அளவுக்கு இலக்கணம் வகுத்துள்ளார்.
மாத்திரையில் இருந்து (நேரத்தைக் கணக்கிடும் அலகு), காலத்தைக் குறிக்கும் மிகப் பெரிய அளவான ‘பெரும் பொழுது’ வரை (காலத்தைக் கணக்கிடும் மிகப் பெரிய அலகு) தொல்காப்பியத்தின் இலக்கண நூலில் சுட்டிக் காட்டுகிறார். இந்த அளவுகள் யாவும் கணிதவியல் சார்ந்ததே!
கணிதத்துறையின் நுட்பமான அறிவு இன்றி ஒரு இசைக் கலைஞன் புதிய, புதிய ராகங்களை உருவாக்கி இருக்க முடியாது. சிற்பக் கலைக்கும், ஓவியக் கலைக்கும் நடனக்கலைக்கும் ஊடாக ஊடுருவியாக கணிதவியல் சார்ந்த இலக்கணங்கள் உள்ளன.
கிராமத்து விளையாட்டுகள், சிலம்பம் முதலிய கலைகள் என்று அனைத்து விதமான கலைகளுக்கும் கணிதம் என்றும் அடிப்படையான தேவையாக உள்ளது.
‘கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல்’ என்ற கணிதத்தின் நான்கு விதமான அடிப்படை விஷயங்களையும் பாமர மக்களும் கால, காலமாய்த் தெரிந்து தான் வைத்திருக்கிறார்கள். பேச்சுவாக்கில் ‘கூட்டிக் கழிச்சிப் பார்த்தா ஒண்ணும் மிஞ்சாது’ என்று சொல்கிறார்கள். ‘வல்லான் வகுத்ததே வாய்க்கால்’ என்று பேச்சுவாக்கில் பேசுகிறார்கள். ‘வெள்ளம் பெருகிட்டு’ என்கிறார்கள். இப்பேச்சுகளில், கூட்டல், கழித்தல், வகுத்தல், பெருக்கல் என்ற அடிப்படைக் கூறுகளின் பெயர்கள் பதிவாகியுள்ளன.
‘சத்தக் கூலி சௌகரியமா இந்த மரக்கம்பை வாங்கினேன்’ என்று பெரியவர் ஒருவர் சொன்னார். அந்த வாக்கியத்தில் உள்ள ‘சத்தம்’ என்ற வார்த்தைக்கு எனக்குப் பொருள் புரியவில்லை! பெரியவரிடமே, தாத்தா ‘சத்தம்’ என்றால் என்ன?’ என்று கேட்டேன். ‘வண்டிச் சத்தம்’ என்றால் ‘வண்டி வாடகை’ என்று அர்த்தம். ‘சத்தக் கூலி’ என்றால், ‘வண்டி வாடகைக் கூலி’ என்று பொருள் என்று விளக்கம் சொன்னார்.
‘சத்தம்’ என்ற வார்த்தைக்கு நடைமுறையில் இரைச்சல், ஒலி எழுப்புதல், பேசுதல் என்ற ரீதியிலேயே அர்த்தம் தெரிந்து வைத்திருந்த எனக்குச் ‘சத்தம்’ என்ற வார்த்தைக்கு வணிக ரீதியாக இப்படியும் ஒரு பொருள் இருப்பதைப் பிறகு தான் தெரிந்து கொண்டேன்.
வட்டார வழக்கில் அவன் கூப்பிடும் தூரத்தில் தான் இருக்கிறான் என்று சொல்கிறார்கள். சில நேரம் அவன் காத வழி (தூரம்) போயிட்டான் என்று பேசுகிறார்கள். ‘கூப்பிடும் தூரம்’ என்ற பதத்திற்கு, நான் ஒருவனை நாம் அதிக பட்சமாக ஓங்கிக் குரல் எழுப்பிக் கூப்பிட, அவனும் (காது செவிடாகாதவனாக இருந்து). நாம் கூப்பிட்ட குரலுக்கு என்ன? என்று மறு குரல் கொடுக்கும் தூரத்தில் இருந்தால் அவனுக்கும்,எனக்கும் இடைப்பட்ட உத்தேசமான தூரத்தைத்தான் ‘கூப்பிடு’ தூரம் என்று புரிந்து வைத்திருந்தேன்.
கிராமத்துப் பெரியவர் ஒருவரிடம் பேசிக் கொண்டிருந்த போது மேலே கண்ட எனது விளக்கத்தைச் சொன்னதைக் கேட்டு நல்ல கற்பனை வளம் இருக்கிறது என்று என்னைப் பார்த்து சிரித்து விட்டு நம் முன்னோர்கள் தனக்கான நீட்டல் அளவை, தன் உடல் உறுப்புகளில் இருந்தே அமைத்துக் கொண்டார்கள். ஒரு மனிதனின் சராசரி விரல் அளவை, ஒரு விரக்கடை என்று சொல்வார்கள். 12 விரல்கடைகள் சேர்ந்து ஒரு சாண் ஆகும். ரெண்டு சான் சேர்ந்து 1 அடி ஆகும். இந்த மூன்று அளவுகளை அளக்கவும் எங்கேயும் சென்று அளவு கோல் தேட வேண்டிய அவசியம் இல்லை. இந்த அளவுகளை அளக்க நம் கையில் உள்ள விரல்களே போதும். ரெண்டு முடியும் சேர்ந்தது ஒரு சிறு கோல், ரெண்டு சிறு கோல் சேர்த்தது ஒரு பெருங் கோல், 500 பெருங்கோல் கொண்டது ‘ஒரு கூப்பிடு தூரம்’. எனவே கூப்பிடு தூரம் என்பது நீங்கள் நினைப்பது போல் ஒலி சார்ந்த அளவு கோல் அல்ல! நீட்டல் அளவு பற்றிய அந்தக் காலத்து ‘வாய்ப்பாட்டின்’ அடிப்படையில் அமைந்தது. இப்படிப்பட்ட நான்கு கூப்பிடு தூரம் சேர்ந்தது தான் ‘ஒரு காத தூரம்’ ஆகும் என்று விளக்கினார்.
வாயால் பாடி (இசையுடன்) மனதில் நினைவு வைத்துக் கொள்வதற்கு ஏற்ப அமைக்கப்பட்ட தால் தான் ‘வாய்ப்பாடு’ என்பதற்கு அப்பெயர் வந்திருக்கிறது என்றும் விளக்கம் சொன்ன பெரியவர் தனது ஏட்டுப் பள்ளிக் கூடத்து அனுபவங்கள் சிலவற்றையும் என்னிடம் கூறினார். அவைகள் யாவும் கணிதத்துறை சம்பந்தப்பட்டது என்பதால் அவற்றையும் இக்கட்டுரையில் பதிவு செய்கிறேன்.
அந்தக் காலத்தில் அதிகாலையில் படுக்கறையை (படுக்கையை) விட்டு எந்திரிச்சதும் பல்தேய்ச்சி நீசத்தண்ணியில் (நீராகாரம்) உப்புப் போட்டு வயிறு நிறைய குடிச்சிட்டு நேரே, ஏட்டுப் பள்ளிக் கூடத்திற்குப் போயிரனும். அப்படி ஏட்டுப் பள்ளிக் கூடத்திற்கு முதன் முதலில் போகிற மாணவனுக்கு ‘ஏரான்’ என்று பெயர். அதன் பிறகு வரிசையாக வருகிற மாணவன் ஏரான் ஒண்ணு, ஏரான் ரெண்டு என்று தனத்குத் தானே எண்ணிட்டுத் தன் வருகையை பதிவு செய்து கொள்ளனும்.
அண்ணாவி வந்ததும், எந்திரிச்சு கடவுளை வாழ்த்தி ஒரு பாட்டுப் பாடுவோம். காலையில் எட்டு மணி வரை அண்ணாவி ஏவின அவர் வீட்டு வேலைகளைச் செய்வோம். அதன் பிறகு தான் வீட்டுக்குப்போயி குளிச்சி சாப்பிடப் போங்க’ என்று சொல்வார் அண்ணாவி.
பெரியவரிடம் பேசிக் கொண்டிருந்தால் நேரம் போவதே, தெரியாது. அவர் நம்மை அந்தக் காலத்தில் மக்கள் வாழ்ந்த வாழ்வியல் அனுபவத்திற்கே கொண்டு சென்று விடுவார். ஒரு முறை பேசிக் கொண்டிருக்கும் போது உடலுக்கு ஒன்பது வால் என்று சொல்கிறார்களே அது எதெல்லாம் என்று தெரியுமா? என்று கேட்டார்.
அரைகுறையாக நான் தெரிஞ்சி வச்சிருந்தாலும் பெரியவரிடம் தெரியாது என்று ஒரே போடாகப் போட்டு விடுவேன். அப்படிப் போட்டால் தான் அவரிடம் இருந்த நிறைய தரவுகளைப் பெற முடியும்.
பெரியவர், கண்ணில் இரண்டு (கண்ணின் நுண்ணிய துளை) காதில் இரண்டு, மூக்கில் இரண்டு, வாயில் ஒன்று, குருத்தில் ஒன்று ஆக மொத்தம் எட்டு அத்தோடு குய்யத்தில் என்று இருக்கிறது. அதையும் சேர்த்து உடலுக்கு ஒன்பது வால் என்று விளக்கம் சொன்னார்.
அந்தக் காலத்துல ‘நாழிகை’ங்கிற நேரத்தை எப்படிக் கணக்கிட்டாங்க தெரியுமான்னு கேட்டார் தாத்தா. வழக்கம் போல் நான் தெரியாதே! சொல்லுங்க என்றேன்.
நாழிகையை அந்தக் காலத்துல ரெண்டு விதமா, கணிச்சாங்க. வெயில் அடிக்கும் பகல் நேரத்துல நாழிகையைக் கணிக்க ஒரு நீளமான குச்சியை எடுத்துக் கிட்டு அதை 16 விரல் என்று தனியே நாலு விரல் கடை நீளத்தில் இன்னொரு குறியிட்டு 20 விரல் கடை அளவில், அந்த நீண்ட குச்சியை முடித்து எடுத்து அதை சூரிய வெளிச்சம் படும் இடத்தில் 16 விரல்கடை அளவுள்ள குச்சி மட்டும் வெளியே தெரியும் படி கட்டு வைப்பாங்க. உடனே குச்சியின் நிழல் தெரியும் அளவைக் குறிக்கத் தரையில் ஒரு கோடு போட்டுக்கிடுவாங்க. பிறகு வேலை நேரத்தைக் கணக்கிட, வேலை முடிந்த பிறகு உள்ள நிழலின் அளவையும், தரையில் ஒரு குறியிட்டுக் குறிச்சிக்கிடுவாங்க. இப்ப நிழலின் நீளத்தையும் குச்சியின் நீளத்தையும் வைத்து நாழிகை என்ற நேர அளவைக் கணக்கிடுவாங்க என்று விளக்கம் சொன்ன பெரியவர் அதற்கு ஆதாரமாக,
‘காட்டுத் துரும் பெடுத்துக்
கண்டம் பதினாறாக்கி,
நீட்டிக் கிடந்து போக,
நின்றது நாழிகை’ என்ற பாட்டால் ஆன சூத்திரத்தையும் இராகத்துடன் பாடிக்காட்டினார்.
கிராமாந்தாரங்களில் இன்றும் வீடு வீடாகச் சென்று தயிர் ஊற்றுகிற பெண்கள், ஒரு பழஞ்சிரட்டையால் (தேங்காய்ச் சிரட்டை கொட்டாங்கச்சி) தான் தயிரை அளந்து ஊற்றுகிறார்கள். எத்தனை நாள் தயிர் ஊற்றினேன் என்பதைக் கணக்கிட வீட்டின் தலையினால் அருகே உள்ள சுவரில் செம்மண் கரைத்த கரைசலில் குறியிட்டுச் சொல்கிறார்கள். இந்தக் கணக்கு முறை திருவள்ளுவர் காலத்திலேயே இருந்திருக்கிறது. இச் செய்தியை திருவள்ளுவர், நாள் ஏற்றித் தேய்ந்து விரல் (குறள் 1261) என்று குறிப்பிடுகின்றார்.
இலக்கியத்தோடு கணக்கியலையும் சேர்த்தே நம் முன்னோர்கள் வளர்த்திருக்கிறார்கள். அதிலும் வாழ்வியலுக்கு மிகவும் தேவையான கணிதத்திற்கு முதலிடம் கொடுத்திருக்கிறார்கள். எனவே தான் ஒளவையார், ‘எண்ணும் எழுத்தும் கண்ணெனத் தகும்’ என்று பாடியுள்ளார். எழுத்திற்கு முன்னால் எண்ணை வைத்துப் பாடி இருக்கிறார்.
இன்னொரு கணிதப் பாடலில் அதே ஒளவையார், ‘எட்டே கால் லட்சணமே! எமனேனும் பரியே!’ என்று பாடியுள்ளார். ‘எட்டு’ என்ற எண்ணின் தமிழ் எண் உரு அ என்ற தமிழ் எழுத்தாகும். ‘கால்’ என்ற எண்ணின் தமிழ் எண் உரு 'வ‘ என்ற தமிழ் எழுத்தாகும். எனவே எட்டே கால் லட்ணமே என்பதற்கு நாம் அவலட்சணமே!’ என்று பொருள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். இப்பாடலில் தமிழ் எண் உருக்கள் எழுத்தாக, இரட்டுற மொழிதலுக்குப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன.
கணிதவியலோடு தொடர்புடைய பல இலக்கியச் சான்றுகளைப் பட்டியலிட்டுக் கொண்டே சொல்லலாம். படித்தவர்களின் இலக்கியத்தில் கணிதவியல் சார்ந்த விஷயங்கள் பதிவு செய்யப்பட்டதைப் போன்றே படிக்காத பாமர மக்கள் பாடும் சில நாட்டார் பாடல்களிலும், அவர்கள் வாய்மொழியாகச் சொல்லும் சில கதைகளிலும் கணிதவியல் சார்ந்த விஷயங்கள் பதிவாகி உள்ளன.
‘பூனைக்கு ஆறு கால், புல்லினத்திற்கு எட்டு கால்’ என்று சிலேடையாகப் பாடப்படுகிறது. ‘பூனைக்கு நான்கு கால்கள் தானே! புல்லினத்திற்கு (பறவை இனங்களுக்கு) இரண்டு கால் தானே! என்று நீங்கள் யோசிப்பது எனக்குத் தெரிகிறது.
‘பூனைக்கி’ என்றால் ‘பூவை நக்கி பூவில் உள்ள தேனை எடுக்கிற வண்டிற்கு’ என்று நாம் பொருள் கொள்ள வேண்டும். இப்போது பாட்டின் பொருள் ‘வண்டிக்கு ஆறு கால்கள் என்று பொருந்தி வரும். பறவைக்கு ‘எட்டே கால்’ என்பதை எட்டு பெருக்கல், கால் என்று புரிந்து கொண்டால் விடை இரண்டு என்று சரியாகப் பொருந்தி வரும்.
பாமரமக்களில் கதை சொல்லிகளைப் போலச் சில கணக்குச் சொல்லிகளும் இருக்கிறார்கள். அவர்கள் போடும் கதைக் கணக்குகள் மிகவும் சுவாரஸ்யமாகவும், சுவையாகவும் இருக்கின்றன. அத்தகைய கதைக் கணக்கு ஒன்றை இனி பார்ப்போம்!
ஒரு ஊரில் ஒரு மாந்திரிகன் இருந்தான் அந்த மாந்திரிகன் கோயில், கோயிலாகச் சென்று சாமி கும்பிடுவதை வழக்கமாகக் கொண்டிருந்தான். அவன் ஒரு நாள் ஒரு நந்தவனத்திற்குப் போய் சில பூக்களைப் பறித்துக் கொண்டு வந்தான்.
நந்தவனத்தில் பறித்த பூக்களை எடுத்துக் கொண்டு ஒரு கோயிலுக்குச் சென்றான். அக்கோயிலின் மூலவருக்குச் சில பூக்களைச் சார்த்துவதற்கு முன், அக்கோயிலில் உள்ள குளத்தில், நந்தவனத்தில் பறித்த பூக்களை ஒரு மந்திரத்தைச் சொல்லி முக்கினான். எனவே மாந்திரிகன் பறித்துக் கொண்டு வந்த பூக்கள் ரெட்டித்தது. (இரண்டு மடங்கானது).
மீதிப்பூக்களுடன் இப்போது முதலாவது கோயிலில் சில பூக்களைச் சார்த்தினான். அங்கிருந்த அந்த மாந்திரிகன், இன்னொரு கோயிலுக்குச் சென்றான். தற்போது மீதமாக தான் தன் கையில் இருந்த பூக்களை, ரெண்டாவது கோயிலின் அருகில் உள்ள குளத்தில் ஒரு மந்திரத்தைச் சொல்லி அமிழ்த்தினான். இப்போதும் மாந்திரிகன் கையிலிருந்த பூக்கள் ரெட்டித்தது. அப்பூக்களில் சிலவற்றை ரெண்டாவது கோயிலில் உள்ள சாமிக்குச் சார்த்தி விட்டு, பிறகு மூன்றாவது ஒரு கோயிலுக்குச் சென்றான். அந்த மாந்திரிகன்.
இப்போதும் தன் கையில் இருந்த பூக்களை மூன்றாவதான கோயிலின் அருகில் உள்ள குளத்தில் ஒரு மந்திரத்தைச் சொல்லி முக்கினான். இப்போதும் மாந்திரிகன் கையில் இருந்த பூக்கள் ரெட்டித்தது. ரெட்டித்த பூக்களை எல்லாம் மாந்திரிகன் மூன்றாவதான கோயிலில் சார்த்தி விட்டு வீசிய கையும், வெறும் கையுமாகத் தன் வீட்டைப் பார்த்து நடந்து சென்றான்.
மாந்திரிகன் மூன்று கோயிலுக்கும் சாத்திய பூக்களின் எண்ணிக்கை சமமானது என்பது சிறப்பு. மாந்திரிகன் முதலில் நந்தவனத்தில் பறித்துக் கொண்டு வந்த பூக்கள் எத்தனை. ஒவ்வொரு கோயிலிலும் சார்த்திய பூக்கள் எத்தனை? இதுதான் அந்தக் கதை கணக்கு.
மாந்திரிகன் நந்தவனத்தில் இருந்து பறித்து வந்த பூக்கள் X என்றும் கோயிலில் சார்த்திய பூக்கள் y என்றும் கொண்டு 2(4x-3y)-y=0 என்ற சமன் பாட்டின் அடிப்படையிலும் இக்கணக்கிற்கு விடை காணலாம்.
நந்தவனத்தில் இருந்து மாந்திரிகன் எடுத்துச் சென்ற பூக்கள், 7 கோயிலுக்குச் சார்த்திய பூக்கள் 8 என்பதே இக்கதைக் கணக்கின் கொடையாகும்.
மாந்திரிகன் நந்தவனத்தில் இருந்து 7 பூக்களை எடுத்துக் கொண்டு வருகிறான். அதை குளத்தில் அமிழ்த்த (7x2) 14 என ரெட்டிக்கிறது. 14 பூக்களில் 8 பூக்களை முதலாவது கோயிலில் சார்த்தி விட்டு மீதி பூக்களுடன் ரெண்டாவது கோயிலுக்கு வருகிறான்.
மாந்திரிகன் இப்போது 6 பூக்களை ரெண்டாவது குளத்தில் அமிழ்த்தி அப்பூக்கள் 12 ஆக ரெட்டிக்கின்றன. அதில் 8 பூக்களை ரெண்டாவது கோயிலுக்குச் சார்த்துகிறான். பிறகு 4 பூக்களையும் அமிழ்த்த (4x2)=8 பூக்களாகின்றன. கடைசியாக உள்ள எட்டுப் பூக்களையும் மூன்றாவதாக உள்ள கோயிலில் சார்த்தி விட்டு வீசிய கையும், வெறுங்கையுமாகத் தன் வீட்டைப் பார்த்து நடையைக் கட்டினான் மாந்திரிகன் என்று கதைக் கணக்கையும் போட்டு அதற்கான விடையையும் விவரித்துக் கூறினார் தாத்தா.
இந்தக் கணக்கின் சொல்மொழி அமைப்பில் ஒரு ‘ஒத்திசைவு’ உள்ளதைக் கூர்ந்து கவனித்தால் நாம் உணர முடியும். மனக் கணக்கு என்ற ஒன்று நம்மை விட்டுப் போய் விட்டதால், வாய்ப்பாடு சொல்வது என்ற முறையும் இன்று நம்மை விட்டுப் போய் விட்டதால் ‘தொட்டது தொண்ணூறுக்கும்’ நாம் கணிப்பானை (கால்குலேட்டரை) தான் தேட வேண்டியதுள்ளது. இத்தகைய கதைக் கணக்குகள் ‘பூக்கள்’ ரெட்டிப்பது போன்ற கற்பனை நயங்களையும் மாணவர்களுக்குத் தூண்டுவதாக உள்ளது. இத்தகைய கதைக் கணக்குகளை பிள்ளைகள் ஒரு கதையைக் கேட்கிற சுவாரஸ்யத்துடன் கேட்டு மனதில் பதிய வைத்துக் கொள்வார்கள்.
நாம் இழந்து விட்ட நாட்டார் செல்வங்களுள் இந்தக் கதைக் கணக்குகளும் ஒன்றாகும்
1 comment:
மிக அருமையான தகவல்... நன்றி.
"ரெண்டு முடியும் சேர்ந்தது ஒரு சிறு கோல்".
முடி என்றால் என்ன ... தயவு செய்து விளக்கவும்.
Post a Comment